Вещественные числа. Первый параграф. Область рациональных чисел. Пункт первый. Предварительные замечания. Из школьного курса читателю хорошо знакомы рациональные числа и их свойства. Однако уже сами потребности элементарной математики приводят нас к необходимости расширить эту числовую область. И в самом деле: среди рациональных чисел зачастую не находится корней даже из целых положительных, то есть натуральных, чисел. Возьмём для примера квадратный корень из двух. Оказывается, не существует такой рациональной дроби пэ на ку — где пэ и ку были бы натуральными числами, а квадрат такой дроби равен двум.

Докажем это. Допустим противное: предположим, что такая дробь всё же существует. Пусть это будет дробь пэ на ку, квадрат которой равен двум. Мы вправе считать эту дробь несократимой, то есть считать числа пэ и ку лишёнными общих множителей. Так как пэ в квадрате равно двум, умноженному на ку в квадрате, то пэ есть число чётное; запишем его в виде: пэ равно двум эр, где эр — некоторое целое число. Отсюда, поскольку дробь несократима, следует, что ку — нечётно. Подставим теперь вместо пэ его выражение. Мы найдём, что ку в квадрате равно двум эр в квадрате, а из этого вытекает, что и ку есть число чётное. Полученное противоречие — ку не может быть разом и чётным, и нечётным — доказывает наше утверждение. Наряду с этим заметим и другое. Если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, то в геометрии заведомо не всякий отрезок можно было бы снабдить длиной. Убедимся в этом. Рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. Его диагональ не может иметь рациональной длины — не может выражаться никакой дробью пэ на ку. Ведь в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен двум, а это, как мы только что видели, невозможно.